2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组)(1)
发布时间:2025-03-20 09:03:30浏览次数:112017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组)一、填空题(每小题 10 分,共 80 分)1.(10 分)在 2017 个自然数中至少有一个两位数,而且其中任意两个数至少有一个三位数,则这2017 个数中有 个三位数.2.(10 分)如图(1)所示,一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走,给定棋子的一条路线,将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方,在某一行中经过的格子数标在该行的左方.如果右图(2)中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的,那么图中x代表的数字为.3.(10 分)用[x]表示不超过x的最大整数,例如[10.2]=10.则[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]等于 .4.(10 分)盒子里有一些黑球和白球,如果将黑球数量变成原来的 5 倍,总球数将会变成原来的 2 倍.如果将白球数量变成原来的 5 倍,总球数将会变成原来的 倍.5.(10 分)能被自己的数字之和整除的两位数中,奇数共有 个.6.(10 分)如图,将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形,最后剩下一个长方形.正方形边长和三角形直角边长都是整数.若剪去部分的总面积为 40 平方厘米,则长方形的面积是 平方厘米.7.(10 分)小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场.从家到商店距离是 500 米,用了 7 分钟; 从商店到游乐场以 80 米/分钟的速度要走 8 分钟; 从游乐场到学校的距离是 300 米,走的速度是 60 米/分钟.那么小龙从家到学校的平均速度是 米/分钟.8.(10 分)亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士,这些骑士中每个骑士恰好有 2 个朋友.他们围着一张圆桌坐下(骑士姓名与座位如图),结果发现这种坐法,任意相邻的两名骑士恰好都是朋友.亚瑟王想重新安排座位,那么亚瑟王有 种不同方法安排座位,使得每一个骑士都不与他的朋友相邻(旋转以后相同的,算同一种方法).二、简答题(每小题 15 分,共 60 分)9.(15 分)如图所示,两个边长为 6 的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCD.G为DE的中点.连接BG交EF于H.求图中五边形CDGHF的面积.
10.(15 分)乌龟和兔子进行 1000 米赛跑,兔子速度是乌龟速度的 5 倍,当它们从起点同时出发后,乌龟不停地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉,兔子醒来时乌龟已经领先它,兔子奋起直追,但乌龟到达终点时,兔子仍落后 10 米.求兔子睡觉期间,乌龟跑了多少米?11.(15 分)如图,一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的直线分割成边长为 1 的 54 个小正三角形,那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个?12.(15 分)将 1 至 9 填入图的网格中.要求每个格子填一个整数,不同格子填的数字不同,且每个格子周围的格子(即与该格子有公共边的格子)所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍.已知左右格子已经填有数字 4 和 5,问:标有字母x的格子所填的数字最大是多少?2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组)参考答案与试题解析一、填空题(每小题 10 分,共 80 分)1.(10 分)在 2017 个自然数中至少有一个两位数,而且其中任意两个数至少有一个三位数,则这2017 个数中有 2016 个三位数.【分析】按题意,2017 个自然数中至少有一个两位数,而任意两个数至少有一个三位数,则可知,两位数的个数不能大于 2,若有 2 个或 2 个以上的两位数,则取出的两个有可能都是两位数,与题意不符,故只能有 1 个两位数,不难求得三位数的个数.【解答】解:根据分析,2017 个自然数中至少有一个两位数,而任意两个数至少有一个三位数,则可知,两位数的个数不能大于 2,若有 2 个或 2 个以上的两位数,则取出的两个有可能都是两位数,与题意不符,故只能有 1 个两位数,而三位数的个数即为:2017﹣1=2016 个.故答案是:2016.2.(10 分)如图(1)所示,一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走,给定棋子的一条路线,将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方,在某一行中经过的格子数标在该行的左方.如果右图(2)中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的,那么图中x代表的数字为2 .【分析】首先分析题意,然后枚举出一种符合题意的画法即可.
【解答】解:依题意可知:路线如图所示:x=2 满足条件.故答案为:23.(10 分)用[x]表示不超过x的最大整数,例如[10.2]=10.则[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]等于 6048 .【分析】本题考察高斯取整.观察式子可知首位两项,[]内的数相加等于 2017,又因为当x不是整数时,[x]+[2017﹣x]=2016,故两两相加,可以得到答案.【解答】解:因为 2017 和 11 是质数,所以[]内的数据都不是整数,则[ ]+[ ]=2017﹣1=2016,同理可得[ ]+[ ]=2016,[ ]+[ ]=2016,所以原式=2016+2016+2016=6048.故填:60484.(10 分)盒子里有一些黑球和白球,如果将黑球数量变成原来的 5 倍,总球数将会变成原来的 2 倍.如果将白球数量变成原来的 5 倍,总球数将会变成原来的 4 倍.【分析】将黑球数量变成原来的 5 倍,总球数将会变成原来的 2 倍,黑球数增加 4 倍,总球数增加 1 倍,也就是黑球个数的 4 倍就是总球数,那么白球的个数是黑球个数的 4﹣1=3 倍;把黑球数看成 1 份,白球数就是 5 份,总球数就是 4 份;再根据白球数变成原来的 5 倍,也就是增加 4 倍,即增加 3×4=12 份,这总球数就是 12+4=16 份,用 16 份除以原来的 4 份,即可求出总球数变成原来的几倍.【解答】解:把黑球看成 1 份,则白球是 3 份,总球数是 4 份;当白球变成原来的 5 倍,就是增加 4 倍,即增加 3×4=12 份(12+4)÷4=4可以画图如下:答:总球数将会变成原来的 4 倍.故答案为:4.5.(10 分)能被自己的数字之和整除的两位数中,奇数共有 5 个.【分析】显然,奇数只能被奇数整除,故这个奇数的数字之和一定为奇数,因这个两位数个位上为奇数,故十位上只能是偶数,从而得知此奇数十位上只能是 1、3、5、7、9,而且此奇数不能是质数,故要排除掉质数,从而最后确定奇数的个数.
【解答】解:根据分析,符合题意的奇数十位上只能是:2、4、6、8,再排除掉质数后,只剩下:21、25、27、45、49、63、65、69、81、85、87,一一检验,排除掉25、49、65、69、85、87,故符合题意的奇数为:21、27、45、63、81,共 5 个.故答案是:5.6.(10 分)如图,将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形,最后剩下一个长方形.正方形边长和三角形直角边长都是整数.若剪去部分的总面积为 40 平方厘米,则长方形的面积是 24 平方厘米.【分析】因剪去的两个大等腰直角三角形可组成一个正方形,两个小等腰直角三角形可组成一个小正方形,可设大等腰三角形的直角边为a,小等腰三角形的直角边为b,则根据题意可知a2+b2=40,又因正方形边长和三角形直角边长都是整数,可根据 22+62=40 知大等腰三角形的直角边和小等腰直角三角形的直角边是多少,进而可求出原正方形的边长,再用原正方形的面积减去 40 可求出长方形的面积是多少,据此解答.【解答】解;设大等腰三角形的直角边为a,小等腰三角形的直角边为ba2+b2=4022+62=40可知大等腰直角三角形的直角边是 6 厘米,小等腰直角三角形的直角边是 2 厘米原正方形的面积:(6+2)×(6+2)=8×8=64(平方厘米)64﹣40=24(平方厘米)答:长方形的面积是 24 平方厘米.故答案为:24.7.(10 分)小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场.从家到商店距离是 500 米,用了 7 分钟; 从商店到游乐场以 80 米/分钟的速度要走 8 分钟; 从游乐场到学校的距离是 300 米,走的速度是 60 米/分钟.那么小龙从家到学校的平均速度是 72 米/分钟.【分析】首先根据:路程=速度×时间,用从商店到游乐场的速度乘用的时间,求出从商店到游乐场的路程是多少,进而求出小龙从家到学校的路程是多少;然后根据:时间=路程÷速度,用从游乐场到学校的距离除以小龙走的速度,求出从游乐场到学校用的时间是多少;最后用小龙从家到学校的路程除以用的时间,求出小龙从家到学校的平均速度是多少即可.【解答】解:(500+80×8+300)÷(7+8+300÷60)=(500+640+300)÷(7+8+5)=1440÷20=72(米/分钟)答:小龙从家到学校的平均速度是 72 米/分钟.故答案为:72.8.(10 分)亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士,这些骑士中每个骑士恰好有 2 个朋友.他们围着一张圆桌坐下(骑士姓名与座位如图),结果发现这种坐法,任意相邻的两名骑士恰好都是朋友.亚瑟王想重新安排座位,那么亚瑟王有 6 种不同方法安排座位,使得每一个骑士都不与他的朋友相邻(旋转以后相同的,算同一种方法).
【分析】首先根据题目要求旋转相同的算同一种方法,因此可只考虑其中一个人排在第一位的情况,然后根据题目条件进行后续排序即可.【解答】解:为方便起见,分别用数字 1、2、3、4、5、6 代表 6 个人,则 1 的朋友为 2 和 6,即和 1 相邻的只能是 3,4,5.由于旋转相同的算同一种方法,可以只考虑以 1 开始的排序方法,由于是一个圆圈,则第二位和最后一位只能从 3,4,5 中选,那么以 1 为基准可排的座位顺序为:(1)若第二位选 3,则第三位选 5 或 6,①若第三位选 5,则第四位只能选 2,还剩下 4 和 6,由于最后一位只能是 3,4,5,则第五位选6,第六位选 4,即 1,3,5,2,6,4;②若第三位选 6,还剩下 2,4,5,若第四位选 2,则剩下 4 和 5,相邻,不符合题意,且 6 和 5相邻,因此第四位选 4,则第五位选 2,第六位选 5,即 1,3,5,2,6,4;(2)若第二位选 4,可同样推理,得到两种排序,即 1,4,6,2,5,3 和 1,4,2,6,3,5,(3)若第二位选 5,可同样推理,得到两种排序,即 1,5,2,4,6,3,和1,5,3,6,2,4.共计 6 种.故答案为:6.二、简答题(每小题 15 分,共 60 分)9.(15 分)如图所示,两个边长为 6 的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCD.G为DE的中点.连接BG交EF于H.求图中五边形CDGHF的面积.【分析】G为DE的中点,所以EG=6÷2=3,因EG:AG=EH:AB,可求出EH的长度,再根据三角形的面积公式可求出三角形EHG的面积,用正方形的面积减去它的面积,就是阴影部分的面积,据此解答.【解答】解:G为DE的中点EG=6÷2=3EG:AG=EH:AB3:(6+3)=EH:6 3:9=EH:6 9EH=3×6 EH=26×6﹣3×2÷2=36﹣3=33答:图中五边形CDGHF的面积是 33.
10.(15 分)乌龟和兔子进行 1000 米赛跑,兔子速度是乌龟速度的 5 倍,当它们从起点同时出发后,乌龟不停地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉,兔子醒来时乌龟已经领先它,兔子奋起直追,但乌龟到达终点时,兔子仍落后 10 米.求兔子睡觉期间,乌龟跑了多少米?【分析】首先把兔子全程先考虑不睡时跑的总路程为 990 米,乌龟跑了多远,剩余的路程就是兔子睡觉时乌龟跑的路程.【解答】解:首先根据兔子的速度是乌龟的 5 倍可知,兔子跑的路程是乌龟的 5 倍.当他们都不休息时兔子跑全程的 1000﹣10=990(米);乌龟跑的路程是 990÷5=198(米);兔子睡觉乌龟继续跑的路程为:1000﹣198=802(米)答:兔子睡觉期间乌龟跑了 802 米.11.(15 分)如图,一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的直线分割成边长为 1 的 54 个小正三角形,那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个?【分析】观察图形,数出正六边形的个数,可以分类计数,分边长为 1 的正六边形、边长为 2 的正六边形、边长为 3 的正六边形,再加起来即可.【解答】解:根据分析,边长为 1 的正六边形个数有:19 个;边长为 2 的正六边形个数:7 个;边长为 3 的正六边形个数:1 个,另外,如图,两种类型的正六边形的个数为:7+2=9 个正六边形的总个数为:19+7+1+9=36 个.故答案是:36.12.(15 分)将 1 至 9 填入图的网格中.要求每个格子填一个整数,不同格子填的数字不同,且每个格子周围的格子(即与该格子有公共边的格子)所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍.已知左右格子已经填有数字 4 和 5,问:标有字母x的格子所填的数字最大是多少?【分析】按题意,1 至 9 的数字中,填入 4 和 5 之外,只剩下 7 个数,可以先求出 7 个数的和,即为 36,中间的x只可能是 3,6,9,故一一检验,即可得知x的值.【解答】解:根据分析,1+2+3+6+7+8+9=36,填入的x是其它五个数的因数,故x只能是 3、6、9,若x=9,则,不能每个数的周围的数字之和是该格子中所填数字的整数倍;x=6 时,如图所示,易知x=6 符合题意.
故答案是:6.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2019/5/7 11:03:04;用户:小学奥数;邮箱:pfpxxx02@xyh.com;学号:20913800