2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）在 2017 个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这2017 个数中有　 　个三位数．2．（10 分）如图（1）所示，一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标在该行的左方．如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么图中x代表的数字为．3．（10 分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[10.2]＝10．则[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]等于　 　．4．（10 分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 2 倍．如果将白球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的　 　倍．5．（10 分）能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有　 　个．6．（10 分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形．正方形边长和三角形直角边长都是整数．若剪去部分的总面积为 40 平方厘米，则长方形的面积是　平方厘米．7．（10 分）小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场．从家到商店距离是 500 米，用了 7 分钟； 从商店到游乐场以 80 米/分钟的速度要走 8 分钟； 从游乐场到学校的距离是 300 米，走的速度是 60 米/分钟．那么小龙从家到学校的平均速度是　 　米/分钟．8．（10 分）亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有 2 个朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有　 　种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．二、简答题（每小题 15 分，共 60 分）9．（15 分）如图所示，两个边长为 6 的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCD．G为DE的中点．连接BG交EF于H．求图中五边形CDGHF的面积． 10．（15 分）乌龟和兔子进行 1000 米赛跑，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后 10 米．求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？11．（15 分）如图，一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的直线分割成边长为 1 的 54 个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？12．（15 分）将 1 至 9 填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍．已知左右格子已经填有数字 4 和 5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）在 2017 个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这2017 个数中有　 2016 　 个三位数．【分析】按题意，2017 个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，则可知，两位数的个数不能大于 2，若有 2 个或 2 个以上的两位数，则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有 1 个两位数，不难求得三位数的个数．【解答】解：根据分析，2017 个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，则可知，两位数的个数不能大于 2，若有 2 个或 2 个以上的两位数，则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有 1 个两位数，而三位数的个数即为：2017﹣1＝2016 个．故答案是：2016．2．（10 分）如图（1）所示，一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标在该行的左方．如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么图中x代表的数字为2 　 ．【分析】首先分析题意，然后枚举出一种符合题意的画法即可． 【解答】解：依题意可知：路线如图所示：x＝2 满足条件．故答案为：23．（10 分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[10.2]＝10．则[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]等于　 6048 　 ．【分析】本题考察高斯取整．观察式子可知首位两项，[]内的数相加等于 2017，又因为当x不是整数时，[x]+[2017﹣x]＝2016，故两两相加，可以得到答案．【解答】解：因为 2017 和 11 是质数，所以[]内的数据都不是整数，则[ ]+[ ]＝2017﹣1＝2016，同理可得[ ]+[ ]＝2016，[ ]+[ ]＝2016，所以原式＝2016+2016+2016＝6048．故填：60484．（10 分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 2 倍．如果将白球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的　 4 　 倍．【分析】将黑球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 2 倍，黑球数增加 4 倍，总球数增加 1 倍，也就是黑球个数的 4 倍就是总球数，那么白球的个数是黑球个数的 4﹣1＝3 倍；把黑球数看成 1 份，白球数就是 5 份，总球数就是 4 份；再根据白球数变成原来的 5 倍，也就是增加 4 倍，即增加 3×4＝12 份，这总球数就是 12+4＝16 份，用 16 份除以原来的 4 份，即可求出总球数变成原来的几倍．【解答】解：把黑球看成 1 份，则白球是 3 份，总球数是 4 份；当白球变成原来的 5 倍，就是增加 4 倍，即增加 3×4＝12 份（12+4）÷4＝4可以画图如下：答：总球数将会变成原来的 4 倍．故答案为：4．5．（10 分）能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有　 5 　 个．【分析】显然，奇数只能被奇数整除，故这个奇数的数字之和一定为奇数，因这个两位数个位上为奇数，故十位上只能是偶数，从而得知此奇数十位上只能是 1、3、5、7、9，而且此奇数不能是质数，故要排除掉质数，从而最后确定奇数的个数． 【解答】解：根据分析，符合题意的奇数十位上只能是：2、4、6、8，再排除掉质数后，只剩下：21、25、27、45、49、63、65、69、81、85、87，一一检验，排除掉25、49、65、69、85、87，故符合题意的奇数为：21、27、45、63、81，共 5 个．故答案是：5．6．（10 分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形．正方形边长和三角形直角边长都是整数．若剪去部分的总面积为 40 平方厘米，则长方形的面积是　24 　 平方厘米．【分析】因剪去的两个大等腰直角三角形可组成一个正方形，两个小等腰直角三角形可组成一个小正方形，可设大等腰三角形的直角边为a，小等腰三角形的直角边为b，则根据题意可知a2+b2＝40，又因正方形边长和三角形直角边长都是整数，可根据 22+62＝40 知大等腰三角形的直角边和小等腰直角三角形的直角边是多少，进而可求出原正方形的边长，再用原正方形的面积减去 40 可求出长方形的面积是多少，据此解答．【解答】解；设大等腰三角形的直角边为a，小等腰三角形的直角边为ba2+b2＝4022+62＝40可知大等腰直角三角形的直角边是 6 厘米，小等腰直角三角形的直角边是 2 厘米原正方形的面积：（6+2）×（6+2）＝8×8＝64（平方厘米）64﹣40＝24（平方厘米）答：长方形的面积是 24 平方厘米．故答案为：24．7．（10 分）小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场．从家到商店距离是 500 米，用了 7 分钟； 从商店到游乐场以 80 米/分钟的速度要走 8 分钟； 从游乐场到学校的距离是 300 米，走的速度是 60 米/分钟．那么小龙从家到学校的平均速度是　 72 　 米/分钟．【分析】首先根据：路程＝速度×时间，用从商店到游乐场的速度乘用的时间，求出从商店到游乐场的路程是多少，进而求出小龙从家到学校的路程是多少；然后根据：时间＝路程÷速度，用从游乐场到学校的距离除以小龙走的速度，求出从游乐场到学校用的时间是多少；最后用小龙从家到学校的路程除以用的时间，求出小龙从家到学校的平均速度是多少即可．【解答】解：（500+80×8+300）÷（7+8+300÷60）＝（500+640+300）÷（7+8+5）＝1440÷20＝72（米/分钟）答：小龙从家到学校的平均速度是 72 米/分钟．故答案为：72．8．（10 分）亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有 2 个朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有　 6 　 种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）． 【分析】首先根据题目要求旋转相同的算同一种方法，因此可只考虑其中一个人排在第一位的情况，然后根据题目条件进行后续排序即可．【解答】解：为方便起见，分别用数字 1、2、3、4、5、6 代表 6 个人，则 1 的朋友为 2 和 6，即和 1 相邻的只能是 3，4，5．由于旋转相同的算同一种方法，可以只考虑以 1 开始的排序方法，由于是一个圆圈，则第二位和最后一位只能从 3，4，5 中选，那么以 1 为基准可排的座位顺序为：（1）若第二位选 3，则第三位选 5 或 6，①若第三位选 5，则第四位只能选 2，还剩下 4 和 6，由于最后一位只能是 3，4，5，则第五位选6，第六位选 4，即 1，3，5，2，6，4；②若第三位选 6，还剩下 2，4，5，若第四位选 2，则剩下 4 和 5，相邻，不符合题意，且 6 和 5相邻，因此第四位选 4，则第五位选 2，第六位选 5，即 1，3，5，2，6，4；（2）若第二位选 4，可同样推理，得到两种排序，即 1，4，6，2，5，3 和 1，4，2，6，3，5，（3）若第二位选 5，可同样推理，得到两种排序，即 1，5，2，4，6，3，和1，5，3，6，2，4．共计 6 种．故答案为：6．二、简答题（每小题 15 分，共 60 分）9．（15 分）如图所示，两个边长为 6 的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCD．G为DE的中点．连接BG交EF于H．求图中五边形CDGHF的面积．【分析】G为DE的中点，所以EG＝6÷2＝3，因EG：AG＝EH：AB，可求出EH的长度，再根据三角形的面积公式可求出三角形EHG的面积，用正方形的面积减去它的面积，就是阴影部分的面积，据此解答．【解答】解：G为DE的中点EG＝6÷2＝3EG：AG＝EH：AB3：（6+3）＝EH：6 3：9＝EH：6 9EH＝3×6 EH＝26×6﹣3×2÷2＝36﹣3＝33答：图中五边形CDGHF的面积是 33． 10．（15 分）乌龟和兔子进行 1000 米赛跑，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后 10 米．求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？【分析】首先把兔子全程先考虑不睡时跑的总路程为 990 米，乌龟跑了多远，剩余的路程就是兔子睡觉时乌龟跑的路程．【解答】解：首先根据兔子的速度是乌龟的 5 倍可知，兔子跑的路程是乌龟的 5 倍．当他们都不休息时兔子跑全程的 1000﹣10＝990（米）；乌龟跑的路程是 990÷5＝198（米）；兔子睡觉乌龟继续跑的路程为：1000﹣198＝802（米）答：兔子睡觉期间乌龟跑了 802 米．11．（15 分）如图，一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的直线分割成边长为 1 的 54 个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？【分析】观察图形，数出正六边形的个数，可以分类计数，分边长为 1 的正六边形、边长为 2 的正六边形、边长为 3 的正六边形，再加起来即可．【解答】解：根据分析，边长为 1 的正六边形个数有：19 个；边长为 2 的正六边形个数：7 个；边长为 3 的正六边形个数：1 个，另外，如图，两种类型的正六边形的个数为：7+2＝9 个正六边形的总个数为：19+7+1+9＝36 个．故答案是：36．12．（15 分）将 1 至 9 填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍．已知左右格子已经填有数字 4 和 5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？【分析】按题意，1 至 9 的数字中，填入 4 和 5 之外，只剩下 7 个数，可以先求出 7 个数的和，即为 36，中间的x只可能是 3，6，9，故一一检验，即可得知x的值．【解答】解：根据分析，1+2+3+6+7+8+9＝36，填入的x是其它五个数的因数，故x只能是 3、6、9，若x＝9，则，不能每个数的周围的数字之和是该格子中所填数字的整数倍；x＝6 时，如图所示，易知x＝6 符合题意． 故答案是：6．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:03:04；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800