2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（二组二试）一、填空题（共 3 题，每题 10 分）1．（10 分）不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2 的x应满足的条件是　 　．2．（10 分）一个 8 行n列的阵列队伍，如果排成若干个 15 行 15 列的方阵，还余下 3 人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于　 　．3．（10 分）自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5﹣S6＝2，S1﹣S2＝1，那么S4﹣S3＝　 　．二、解答题（共 3 题，每题 10 分，写出解答过程）4．（10 分）扑克牌中的J，Q，K分别看成 11，12，13 点，从 1 到 13 点的 13 张扑克牌中至多挑出几张牌，使得没有 2 对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？5．（10 分）将 1，2，3，…，37，这 37 个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，…，a37，其中a1＝37，a2＝1，并使得a1+a2+…+ak能被ak+1整除（k＝1，2，…，36），求a3＝？a37＝？6．（10 分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为 10 吨，若每个帐篷分配 1.5 吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配 1.6 吨物资，则尚差 2 车多的物资．问：这个安置点最少有多少顶帐篷？2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（二组二试）参考答案与试题解析一、填空题（共 3 题，每题 10 分）1．（10 分）不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2 的x应满足的条件是　 x ≤ 　．【分析】按题意，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2 的解，可以分情况讨论，分三种情况：x＜﹣2；x＞1；﹣2≤x≤1 故可以去掉绝对值，再求解．【解答】解：根据分析，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2 的解，先去绝对值，分三种情况：①x＜﹣2 时，x+2＜0； x﹣1＜0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2 ﹣⇒ （x+2）﹣（1﹣x）≤2 ﹣⇒3≤2，成立；∴x＜﹣2；②x＞1 时，x+2＞0； x﹣1＞0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒x+2﹣（x﹣1）≤2 2+1≤2⇒ ，（不符合，舍去）；③﹣2≤x≤1 时，x+2≥0；x﹣1≤0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒x+2﹣（1﹣x）≤2 2⇒x+1≤2⇒x≤；∴﹣2≤x≤ ．综上，x≤ 时，满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|≤2，即此时x不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2．故答案是：x≤ ．2．（10 分）一个 8 行n列的阵列队伍，如果排成若干个 15 行 15 列的方阵，还余下 3 人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于　 141 　 ．【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是 8 的倍数，一个小方阵有 15×15＝225 人，设有k个方阵，那么 8n＝225k+3，则 225k+3 应该是 8 的倍数，考虑除以 8 的余数，k最小为 5，n最小为 141．【解答】解：设有k个方阵，那么 8n＝225k+3，当k＝1 时，225+3＝228，不是 8 的倍数；不符合题意；当k＝2 时，225×2+3＝453，不是 8 的倍数，不符合题意；当k＝3 时，225×3+3＝678，不是 8 的倍数，不符合题意；当k＝4 时，225×4+3＝903，不是 8 的倍数，不符合题意；当k＝5 时，225×5+3＝1128，是 1128÷8＝141；答：k最小为 5 时，n最小为 141．故答案为：141．3．（10 分）自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5﹣S6＝2，S1﹣S2＝1，那么S4﹣S3＝　 3 　 ．【分析】解：如图， ，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2，BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2，CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2，所以AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2；然后根据圆的面积公式，可得S1+S3+S5＝S2+S4+S6，所以S4﹣S3＝（S5﹣S6）+（S1﹣S2）＝2+1＝3，据此解答即可．【解答】解：如图， ，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2＝AF2+FP2…①，BP2＝BF2+FP2…②，①﹣②，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2…③， 同理，可得BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2…④，同理，可得CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2…⑤，③+④+⑤，可得AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2，所以 （AF2+BD2+CE2）＝ ×（BF2+CD2+EA2），因此S1+S3+S5＝S2+S4+S6，所以S4﹣S3＝（S5﹣S6）+（S1﹣S2）＝2+1＝3故答案为：3．二、解答题（共 3 题，每题 10 分，写出解答过程）4．（10 分）扑克牌中的J，Q，K分别看成 11，12，13 点，从 1 到 13 点的 13 张扑克牌中至多挑出几张牌，使得没有 2 对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？【分析】首先得到从 1 到 13 点的 13 张扑克牌中有 1～12 的差，进一步得到出现 2an＝am+al（m＞n＞l）至少有 5 组，相当于从 21 组中取出这 5 组，尚有 16 组，再根据抽屉原理即可求解．【解答】解：设至少挑出n张牌，但是{1，2，3，5，8，13}中没有 2 对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，所以n≥6，若n＝7，所取的 7 张牌，从小到大排列为：{a1，a2，…，a7}，任取 2 个am和an，设am＞an，则 ＝21 个在 1～12 的差，这些差中（1）不可能出现am﹣an＝ak﹣an，（2）若有am﹣an＝an﹣al，即 2an＝am+al（m＞n＞l），则不能有m1≠m，l1≠l（m1＞n＞l1），使得 2an＝am1+al1，否则存在 2 对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，即对于同一个n，出现am﹣an＝an﹣al或 2an＝am+al（m＞n＞l）具有唯一性，出现 2an＝am+al（m＞n＞l）至少有 5 组，相当于从 21 组中取出这 5 组，尚有 16 组，16 个取值在1～12 的差，必有两个相同．5．（10 分）将 1，2，3，…，37，这 37 个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，…，a37，其中a1＝37，a2＝1，并使得a1+a2+…+ak能被ak+1整除（k＝1，2，…，36），求a3＝？a37＝？【分析】显然这 37 个数的总和是a37的倍数，所以总和 37×19 是a37的倍数，由此求出a37的值，对于a3，有 38 是a3的倍数，由此求出a3的值，解决问题．【解答】解：这 37 个数的总和是a37的倍数，所以总和 37×19 是a37的倍数，所以a37＝19；对于a3，a3可以整除a1+a2＝37+1＝38，所以 38 是a3的倍数，所以a3＝2．6．（10 分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为 10 吨，若每个帐篷分配 1.5 吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配 1.6 吨物资，则尚差 2 车多的物资．问：这个安置点最少有多少顶帐篷？【分析】题目里两种分配案所用车辆和安置点的帐篷数是一样的．故分别设它们为X、Y，根据题意列出相应的不等式组．在不等式组中先消元去掉Y，再求出所得关于X的不等式的解集，在X解集内取整数值代入原不等式组，求得Y的解集即可．【解答】解：设所用车为X辆，帐篷为Y顶．据题意得：去掉Y得：解得：30＜X＜61 因求最少帐篷，所以车辆也应是最少的．故车辆X从取整数 31 开始试起，直到找出适合所列原不等式组Y的值．①把X＝31 代入原不等式组，解得：故：Y无解．②把X＝32 代入原不等式组解得：故：Y最小值整数值为 213答：这个安置点最少有 213 顶帐篷．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:43；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800